On part de la formule du cercle suivante :

$R^2-{(x-a)}^2-{(y-b)}^2=0$

Et d'un ensemble de n points. On cherche, R, a et b tels que :

$\forall i\in [1;n],R^2-{(x_i-a)}^2-{(y_i-b)}^2=0$

On suppose qu'on a plus de 3 points et que l'équation suivante n'est donc pas résolvable.

On cherche donc plutôt à déterminer a, b et R de sorte à minimiser les εi.

${\epsilon }_i=R^2-{(x_i-a)}^2-{(y_i-b)}^2$

ou après développement

${\epsilon }_i=R^2-a^2-{x_i}^2+\mathrm{2a}{x}_i-b^2-{y_i}^2+\mathrm{2b}{y}_i$

Le problème est donc de chercher a, b et R tels que

$\mathit{min}(\sum _{i=1}^n{E}_i(a,b,R))\mathit{avec}{E}_i(a,b,R)={\epsilon }_i{(a,b,R)}^2$

Soit a, b et R tels que les dérivées partielles de

$E(a,b,R)=\sum _{i=1}^n{E}_i(a,b,R)$

soient nulles soit le système S1 :

$\frac{\partial E}{\partial a}=-2\sum _{i=1}^n(x_i{\epsilon }_i)+2a\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i=0$

$\frac{\partial E}{\partial b}=-2\sum _{i=1}^n(y_i{\epsilon }_i)+2b\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i=0$

$\frac{\partial E}{\partial R}=-\mathrm{2R}\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i=0$

R étant non nul, la troisième équation du système S1 équivaut à

$\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i=0$

En injectant cette dernière égalité dans les 2 premières équations de S1, on obtient le système suivant :

$\sum _{i=1}^n(x_i{\epsilon }_i)=0$

$\sum _{i=1}^n(y_i{\epsilon }_i)=0$

$\sum _{i=1}^n{\epsilon }_i=0$

Si on développe tout ça, et après remise en forme, on obtient :

$\sum _{i=1}^n(\mathrm{2a}{x_i}^2+\mathrm{2b}{x}_i{y}_i+x_i(R^2-a^2-b^2)-{x_i}^3-x_i{y_i}^2)=0$

$\sum _{i=1}^n(\mathrm{2a}{x}_i{y}_i+\mathrm{2b}{y_i}^2+y_i(R^2-a^2-b^2)-{x_i}^2{y}_i-{y_i}^3)=0$

$\sum _{i=1}^n(\mathrm{2a}{x}_i+\mathrm{2b}{y}_i+(R^2-a^2-b^2)-{x_i}^2-{y_i}^2)=0$

L'homme (ou la femme) avisé(e) que vous êtes ne manquera pas de répérer un petit système matriciel bien sympathique qu'il suffit d'inverser pour trouver a, b et R.

$\left[\begin{array}{ccc}2\sum _{i=1}^n{x_i}^2& 2\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i& \sum _{i=1}^n{x}_i\\ 2\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i& 2\sum _{i=1}^n{y_i}^2& \sum _{i=1}^n{y}_i\\ 2\sum _{i=1}^n{x}_i& 2\sum _{i=1}^n{y}_i& n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n({x_i}^3+x_i{y_i}^2)\\ \sum _{i=1}^n({x_i}^2{y}_i+{y_i}^3)\\ \sum _{i=1}^n({x_i}^2+{y_i}^2)\end{array}\right]$

avec

$c=R^2-a^2-b^2$